ENSAYO SOBRE CONJUNTOS DE
NUMEROS

 

 

 

 

 

 

                                     

 

 

Autor :  José Miguel de Vicente Aguado

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Registro Territorial de la Propiedad Intelectual. Comunidad de Madrid.

12/RTPI-006184/2008 Número: M-005682/2008 Ref: 12/064826.2/08 fecha: 21 de Julio de 2.008

INTRODUCCION

José Miguel de Vicente  Aguado , hace donación de cualquier beneficio que pueda generar  la publicación o divulgación del presente documento a la orden Franciscanas Misioneras de María, cuya Hermana Ignacia Aramburu, mantiene una leprosería en Mayanmar.

Se ruega envíe su donativo de 6 € a Franciscanas Misioneras de María c/ Cardenal Marcelo Spínola, 38 -3º 28016 Madrid por giro postal.

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Madrid a 18 de julio de 2.008

 

 

 

 
CAPITULO 1 CONJUNTO DE CONJUNTOS

El conjunto de los números combinatorios es sobradamente conocido y de gran utilidad en numerosas ecuaciones.

Los números combinatorios pueden obtenerse directamente utilizando su fórmula para calcularlos:

O emplear el conocido Triangulo de Pascal o Tartaglia

En este triangulo cada número es la suma de los dos números que están situados encima, a su derecha e izquierda.

 Ejemplo 84 = 56 +28.

Ahora se puede generalizar el método anterior donde si a y b eran los números superior izquierdo y superior derecho del numero considerado c podemos crear una infinitud de conjuntos de números  semejantes, sustituyendo la fórmula:

 c = a + b          por otras de la forma c = F(a) + F(b)  y/o c = F(a,b)

Donde F() representa una función cualquiera.

También podemos sustituir en los lados del triangulo los conjuntos que denominaré de salida (Lado izquierdo) y de llegada (Lado derecho) por otras series de números diferentes a la serie 1, 1, 1, …. empleadas en el triángulo de Pascal o Tartaglia.

A título de ejemplo se pueden emplear las series: 1,2,3, cualquier otra progresión aritmética, o progresion geométrica, las anteriores multiplicadas por (-1)n , los numeros primos, las anteriores variando su lugar de comienzo, etc.

Los números combinatorios se representan como  donde m representa la fila donde esta situado el número y n es el número de  columna inclinada 60º , respecto del lado izquierdo, que sería la columna 0.

Esta misma denominación se va a mantener para designar los elementos individuales de los nuevos conjuntos, si bien para distinguirlos de los numeros combinatorios, vamos a emplear corchetes en lugar de paréntesis.

Los denominaremos [m,n] . Ver figura 1

                                                        Figura 1

De cada conjunto que se obtiene de la forma descrita, lo mas fácil de observar es la suma de cada fila.

Cada conjunto normalmente estará asociado a un conjunto de fórmulas o algoritmos que relacionan los conjuntos de números ya conocidos como los números combinatorios, las potencias, las sumas de potencias, las factoriales, etc.

Podemos encontrar dentro de este conjunto algún conjunto de números ya conocido, como por ejemplo los números combinatorios, y fórmulas semejantes a otras ya conocidas.

Pero comparando lo que aquí se da a conocer con lo  ya conocido, nos damos cuenta de una característica importante: la estética.

Conjeturamos que un objeto matemático estético y bello, debe tener su reflejo en la realidad física existente. Conjeturamos que los nuevos conjuntos de números son la solución de numerosos problemas de la física real, aunque de momento ignoramos cuales son.

Pero esperamos que algún científico, especializado en una rama particular del conocimiento, al conocer estos conjuntos, le resulte familiar alguno de ellos, por ser los que el maneja habitualmente.

La técnica descrita para construir conjuntos de números, puede utilizarse también para hallar la ley de formación de conjuntos de números dados. En este caso se colocan los números a estudiar en las diferentes posiciones del triangulo y se estudia para cada número, que función es la que le relaciona con el par de números que tiene encima. Si hemos acertado con la colocación y con las series de partida y llegada, o no hemos empleado ninguna, puede que descubramos que la función es común en todo el triangulo, con lo cual habremos resuelto nuestro problema. Mas adelante estudiaremos así el caso particular de los números primos.

Las demostraciones de la fórmulas asociadas a cada conjunto, son banales y al alcance de cualquier estudiante, ya que en la mayoría de los casos solo hay que simplificar ambos lados de la ecuación hasta obtener una igualdad que es una identidad. Daremos algunas demostraciones a título de ejemplo y omitiremos la mayoría. Las dejamos como pasatiempos al lector, para que las encuentre. No son difíciles.

CAPITULO 2 CONJUNTO COMBINATORIO

Este conjunto se  genera a partir de la serie de salida 1,1,1… y la serie de llegada 1,-1,1,-1….. La función de paso que se emplea es

[m,n] = a[m-1,n-1] + b[m-1, n]

Siendo a = m-n-1 y b= n+1

Y el resultado obtenido es el de los numero combinatorios multiplicados por (-1)n

Se puede ver en la figura 2 Donde se han representado los valores de a y b

En este conjunto aparecen los números (-1)n   Es decir los mismos números del Triangulo de Pascal o Tartaglia, afectados de signo + o- según sea la paridad de n.

Si en el triangulo de Tartaglia se obtenían los números combinatorios como suma de los dos números superiores

En este conjunto se pueden obtener como diferencia ya que

       (caso de n impar)

Ejemplos:

 = 20 = 10 + 10

 = - 20= 2x10 – 4x10 = -20

Como ya se dijo, la demostración de las fórmulas es obvia:

         Vemos que el conjunto de los números combinatorios es un caso particular del Conjunto General, y los números combinatorios pueden obtenerse de los números, situados encima de dos formas diferente o mediante suma o mediante resta ponderada.

En la Tabla 2 también vemos que la suma de cada fila es 0.

La suma de los números combinatorios pares es igual a la suma de los números combinatorios impares; caso obvio en el caso de m impar ya que son números idénticos, pero no para m par ya que son números diferentes.

 

CAPITULO 3 CONJUNTO SEGUNDO

Uno de los conjuntos de números, mas útil es el que se obtiene mediante la función :

c = na +mb, donde las variables n y m son las filas donde esta situado el elemento c respecto de los lados inclinados del triangulo.

Este conjunto es el siguiente:

 

Como ejemplo 302 = 3x66 +4x26  Ya que el elemento 302 tiene encima los números 66 y 26 y está situado en la 3ª fila respecto del lado derecho del triángulo y en la 4ª fila respecto del lado izquierdo del triangulo.

Otros ejemplos

4= 2x1+2x1   ;  25 = 2x11+1x1  ;  11= 4x2 + 3x1 ; 1.191 = 5x57 +5x1   

 156.190 = 5x15619 + 5x15619        ;   455.192 = 4x88234 +7x14608

Cada elemento del conjunto [m, n] se obtiene de los dos elementos superiores [m-1,n-1] y [m-1, n] multiplicándolos antes de sumarlos por su número de fila respecto a los lados del triangulo: (n+1) y (m-n+1)

[m, n]  = (n+1)[m -1,n] + (m - n+1)[m-1,n-1]

Una pequeña tabla de valores es la siguiente:

 

Una tabla mas completa con los valores hasta m=17 se da en la página siguiente.

La fórmula que permite el cálculo individual de cada elemento tiene la expresión siguiente:

 

 

 

 

A continuación un ejemplos de calculo de un elemento del conjunto utilizando la fórmula general:

 

[4,3]   = 1.024 -1.458 + 32x15 - 20

 

[4,3]   = 1.024 -1.458 + 480 – 20 = 26 

Conocida la ley de formación de los números del conjunto, no representa mayor interés la deducción de las fórmulas que los calculan. Es una tarea sencilla y sin interés.

Al igual que los números combinatorios representan algo que existe en la realidad como son el número de combinaciones de m objetos, otros conjuntos de números también representan cosas del mundo real como probabilidades, permutaciones, etc.

El conjunto de números descrito no se ha identificado todavía con alguna magnitud física o con sucesos de la realidad. Pero es difícil imaginar que un objeto matemático estético, no se corresponda con la solución de un problema físico real.


CAPITULO 3 UTILIDAD DEL CONJUNTO DE NUMEROS SEGUNDO

El conjunto de números descrito permite disponer de varias fórmulas tales como las siguientes:

1º FACTORIAL DE N  N! la suma de todos los números de una fila da la factorial del numero de fila mas uno. Ejemplos

2! = 2 = 1 + 1 = [1,0] +[1,1]

3! = 3x2x1 = 6 = 1 + 4 + 1 = [2,0] + [2,1] + [2,3]

4! = 4x3x2x1 = 24 = 1 + 11 +11 +1 = 24

5! = 5x4x3x2x1 = 120 = 1 + 26 + 66 + 26 +1 = 120

La formula general sería:

Ejemplo: 6! = [5,0] + [5,1] + [5,2] + [5,3] + [5,4] + [5,5]

También es posible escribir cada elemento [m,n] en función de las potencias de los números naturales y de los números combinatorios tal como se ha expresado anteriormente.

Unas sencillas operaciones nos dan la fórmula general

Ejemplos de este calculo son:

 

La formula general presenta una curiosa propiedad:

 

 

X puede tomar cualquier valor entero, positivo o negativo o cero.

Ejemplo:

 = 24

= 24

= 24

También presenta otras curiosas propiedades si se toman los números bases de las potencias con una diferencia entre ellos de k , se obtiene como resultado knn!

También se obtienen otros resultados curiosos variando el exponente de las potencias.

Dada la simetría de los números combinatorios      

Las formulas anteriores también se pueden escribir:

 

para valores de n pares

 

Para valores de n impares.

Otra formula fácilmente deducible de las anteriores para calcular n! es.

Ejemplo:

Si la formula anterior la aplicamos al numero anterior a un numero primo y dado que los números combinatorios de un primo son divisibles por ese primo salvo el 1 inicial y el 1 final, fácilmente deducimos como criterio de primalidad que si el número (n+1) es un número primo, debe verificarse que n!-n debe ser múltiplo de (n+1). Ejemplos:

3!-3 = 6-3=3 no es divisible por 4 . 4 no es primo

4!-4 = 24-4 = 20 ; 20/5 =4     5 es primo

5!-5 = 120-5 =115 no es divisible por 6  el número 6 no es primo

6!-6 = 720-6 =714    714/7 = 102   7 es primo. Etc.

Si observamos la cosa mas cerca, también llegamos a la conclusión de que si n es primo (n-2)!-1 debe ser divisible por n y esta formula se puede emplear como criterio de primalidad.

Ejemplos:

3!-1 =5

5!-1 0 119 = 7x14

9!-1 = 11x32989

11!-1 = 13x3.070.523

 

2º CALCULO DE POTENCIAS 

Las fórmulas que se dan a continuación son fácilmente demostrables. Se da la demostración de la primera, y con el mismo método se pueden demostrar las siguientes 

 

 

 

 

 

La demostración consiste en comprobar  que se trata de una identidad:

Este método de demostración es aplicable a todas las demás fórmulas.

La formulas general que relaciona las potencias, los números del conjunto y los números combinatorios es la siguiente

 


Para n  > A

Para n  ≤ A

 

                       

 

 

Ejemplos:

53 = 35  + 4x20  + 10 = 35 + 80 + 10 = 125

 

35 = 1x21 + 26x6 + 66x1 = 21 + 156 + 66 = 243

Los números del conjunto relacionan las potencias con los números combinatorios de forma semejante, aunque diferente, a las formulas  ya conocidas.

En el problema pendiente de encontrar la demostración escrita al margen por Fermat de su último teorema hay que resaltar que An = Bn + Cn  es de demostración banal para el caso A < n.

Las fórmulas anteriores son mas adecuadas y completas precisamente para el caso A > n

Permiten descomponer una potencia en n sumandos (uno menos que las formulas conocidas.

3º SUMA DE POTENCIAS DE NUMEROS NATURALES.

Los denominados números de Bernouilly también sirven al mismo propósito pero la estética y la simetría del conjunto que aquí se detalla, es muy superior.

Cuando queremos sumar potencias de números naturales nos encontramos en los formularios de matemáticas fórmulas como las que siguen:

Aquí es donde más útil parece el conjunto de números presentados al principio , ya que todas estas formulas quedan reducidas a una única que es la siguiente:

 

 

 


        

 

Para que se comprenda mejor vamos a desarrollarla en casos concretos

Suma de 13 + 23 + 33 + 43 = 100

                     

13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 35 + 4x15 + 5 = 100

Suma del primer millón de números elevados a la potencia 17 es: 49.810.164.238.678.600.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Las operaciones matemáticas realizadas con las formulas propuestas se pueden ver en la página siguiente.

Por último intentamos un calculo al limite de la precisión que se puede obtener con una hoja de calculo Excel y obtenemos que la suma de las 25 primeras potencias de 15 es:

 115+215+315+…+2515.= 1.967.194.070.310.301.665.625

En la página siguiente se pueden ver las magnitudes empleadas para hacer el cálculo, y como se han utilizado los números del nuevo conjunto.

 

Otra vez sucede que la demostración de las fórmulas es tan elemental que no merece detallarse. Hemos visto en las primeras formulas que un numero elevado a potencia n se podía obtener de n  sumandos formados por los números del conjunto [n-1,0], [n-1,1], [n-1,2],.....[n-1,n-1] multiplicado cada uno por un numero combinatorio sucesivo de la misma base n+2.

Si se suman potencias enésimas de números consecutivos, (descompuestos en sumas) se puede sacar factor común [n-1,0], [n-1,1], [n-1,2],.....[n-1,n-1] y cada uno multiplica a una serie de números combinatorios sucesivos de base n+2.

Las formulas de suma de números combinatorios son ampliamente conocidas y se dan a continuación. Con ellas se llega a la demostración de la formula que da la suma de potencias de los números naturales ya vista.

 

 

 

 

 

 

4º PROPIEDADES ESTADISTICAS

Estas propiedades se dejan al estudio del lector

 

5º PROPIEDADES RESPECTO PRIMALIDAD

Si n es primo la formula general se trransforma en:

Por otra parte encontramos que si n es primo:

Si n no es primo

Con la unica excepción de n=4:

Lo cual puede servir de criterio de primalidad de un número

De lo dicho se deduce que

2! = 3k -1

3! = 3x2!                       3! = 3x2! = 3(3k-1)

4! = 5k -1                      4! = 4x3! = 42 k                    

5! = 6k                          5! = 5x4! = 5(5k-1)

6! = 7k -1                      6! = 6x5! = 62 k

7! = 8k                          7! = 7x6! = 7(7k-1)

8! = 9k                          8! = 8x7! = 82 k

9! = 10k                        9! = 9x8! = 92 k

10! = 11k -1                 10! = 10x9! = 102 k

     si n no es primo

  si n es primo

Las propiedades de los números del conjunto [m,n], exceptuando los valores n=0 y n=m para los cuales [m,n] =1 respecto de su Módulo respecto de m son las siguientes:

En las tablas 3, 4, 5 se pueden ver las funciones

 [m,n] MOD m ,

 [m-1,n] MOD m ,

[m-2,n] MOD m

 

 

Por lo que se observa estas funciones valen:

[m,n] MOD m = 2 si  m es primo para cualquier valor de n, excepto n=0 y n=m que valen 1

[m-1,n] MOD m  = 1 si  m es primo para cualquier valor de n

(n+1)! –(n+1) MOD n+2 = 0 si n+2 es primo

(n+1)(n!-1) Mod n+2 = 0 si n+2 es primo

(n-2)! -1 MOD n = 0 si n es primo, lo que constituye un criterio de primalidad y una ley de formación de números primos.

Ejemplo:

(7-2)! -1 = 5! -1 = 119 = 7x17

(11-2)! MOD11 = 9!MOD11 = 362880 MOD 11 = (11x32989 +1) MOD11 = 1

(13-2)! MOD 13 = 11!MOD 13 = 39.916.800 MOD 13  =

=  (39.916.799+1) MOD13 = (13x 3.070.523+1)MOD 13 = 1

7! -1 = 5039  como 5039 no divisible po 9 , 9 no es primo.

 

CAPITULO 4 OTROS CONJUNTOS

 

 

 

 

 

 

Tablas Factoriales

 



 

 

 

 

Para las anteriores tablas 110, 111, 112, y 113 se omite la ley de formación que puede deducirse fácilmente examinando la secuencia de los números en rojo, que son los multiplicadores previos a la suma de los dos números superiores de cada elemento.

La suma de las filas de estas tablas nos da un producto de factores que se caracterizan por formar una progresión aritmética de  razón 3.

Si designamos por A la suma de los valores de cada fila de la tabla 110

Si designamos por B la suma de los valores de cada fila de la tabla 111

Si designamos por C la suma de los valores de cada fila de la tabla 112

Tenemos que

Por lo tanto ABC = (3n+1)!.

Siendo n el numero de fila.

 Los números A y C no contienen ningún factor que sea 3 o divisible por 3.

Estas formulas indican que la cantidad  de factores igual a 3 que existen en (3n)! es de n mas los que existan en n! ya que (3n)! = 3n n! AC

Lo cual nos da un método de calculo para obtener la cantidad de factores primos que contiene n!

En el caso de 3 esta cantidad vale  = n/3 +n/9 +n/27 + ...

En la práctica esto se realiza dividiendo n! por 3, el cociente obtenido se divide de nuevo por tres y así se continúa hasta obtener cociente 0. Luego basta hallar la suma de todos los cocientes obtenidos.

Los decimales se pueden ignorar ya que su existencia es debida a los factores tipo (3n+1) o (3n-1) que no contienen el factor 3.

Veamos un ejemplo:  ¿cuantas veces es divisible exactamente por 3 el número 3.000.017!?

Basta dividir por 3, sucesivamente ignorando decimales y restos y

n

3.000.017

n/3

1.000.005

(n/3)/3

333.335

 

111.111

 

37.037

 

12.345

 

4.115

 

1.371

 

457

 

152

 

50

 

16

 

5

 

1

Total

1.500.000

 

La respuesta exacta es 1.500.000

Para números grandes se puede emplear una solución aproximada ya que

Q = n( 1/3 +1/9 +1/27 +...1/3n) = 

 

Si utilizamos en el ejemplo expuesto la formula aproximada obtenemos:

Q = 3.000.017/3 = 1.500.008,5

El error que se comete con la fórmula aproximada es de 0,0006%

Lo dicho respecto del factor 3 es aplicable a todos los factores primos de n!.

La fórmula aproximada para calcular la cantidad de veces que contiene el factor primo p el número n! es

 debido a que

Como ejemplo si queremos saber la cantidad de veces que 3.000.017! contiene el factor primo 43 lo podemos calcular por el método exacto antes explicado y obtenemos el resultado de 71.426, o bien por el método aproximado, dividiendo 3.000.017 entre 42 =(43-1) y obtendremos el resultado de 71.428,6.

Si consideramos la cantidad x de factores primos que contiene n! vemos lo siguiente: Para n= 4 , 4! = 24 = 2x2x2x3        x = 4  Si efectuamos la división x/n = 1

Para n= 8 , encontramos x/n = 11/8 = 1,375

Cuando n es grande podemos establecer la conjetura que

 

Fórmula en la que n = 1,2,3, etc,   la constante 3,24… no la se relacionar con otras constantes conocidas, siendo x  la cantidad de factores primos que contiene n!

 

Utilizando las fórmulas aproximadas podemos establecer que siendo Pn los números primos tal que P1 = 2,  P5 = 11, etc la cantidad de factores primos en n! vale de forma aproximada:

Pero ignoro la convergencia de esta serie.

 

CALCULO DE FACTORIALES PRIMAS

Lo dicho anteriormente tiene aplicación para calcular factoriales primas : es decir factoriales que contienen solamente números primos

Fp = n!/ 2(a-1)3(b-1) ….c1

Basta dividir n! por los factores primos menores que n/2 y cuya cantidad ya sabemos calcular : siendo a el número de factores iguales a 2, b el de 3 , etc y c el mayor primo menor que n/2

Ejemplo calculo de la factorial prima de 24

Q de 2 = 22

Qde 3 = 10

Q de 5 = 4

Qde 7 = 3

Qde 11 =2

Fp(24) = 24!/ 221395372111 = 9699690 = 23x19x17x13x11x7x5x3x2

Fp(24) = 24!/ Fp(24/2) Fp(24/3)Fp(24/5)Fp(24/7)Fp(24/11)

TABLAS DEL 5

 

 

 

CAPITULO 5 CONCLUSION

Se ha visto las posibilidades de generar nuevas y mas elegantes fórmulas usando los nuevos números de los nuevos conjuntos.

El método para encontrarlos abre todo un universo de nuevas posibilidades, en el que quizás encontremos que el conjunto Л(n) es un caso particular del conjunto general.

En Madrid a 1 de Julio de 2.008

Autor: José Miguel de Vicente Aguado

Títulos Académicos y bibliografía anterior: se pueden ver  en la web : http://www.josemigueldevicente.com/